La auténtica puerta del infinito

Infinito es un concepto que excapa a toda percepción. Da igual el número que tomemos: las sillas de un estadio, los átomos de nuestro planeta, la inmensidad mas perturbadora... Cualquiera de ellos está tan lejos de ser infinito como el 1. Va mas allá de cualquier cosa que podamos visualizar.

Pero eso no es nada comparado con uno de los descubrimientos que mas me han sorprendido de los últimos tiempos: Aleph-1, el infinito mas allá del infinito.

Su descubrimiento empieza por la pregunta: ¿qué es contar? Cantor, uno de los matemáticos más importantes de la historia reciente, observó a través de su hijo de 1 año que tenemos el concepto de contar de forma innata: para saber entre dos grupos de caramelos cual era el mayor, el chaval asociaba parejas hasta que uno de los dos grupitos se acababa... y deducía que el mayor era el que le sobraban elementos.

Contar es asociar a cada uno de los objetos de un grupo, un número natural único: pillo a Juan y le asocio el 1, luego a Susana el 2, luego a Sandra el 3... y así los vamos asignando hasta que no queda ningún objeto sin su número. Y el número final de objetos que tenemos es el último número que hemos asignado.

Hasta aquí nada del otro mundo.

¿Cuántos números naturales hay (1,2,3,4...)? ... pos infinitos. ¿Cuántos números reales hay? Pues...... infinitos?

Pos mira... no es tan fácil. Vamos a hacer una pequeña prueba intentando contarlos.

Imaginemos que los reales entre 0 y 1 son numerables: es decir, aunque podrían ser infinitos, conceptualmente se podría hacer una tabla (infinita) con todos números reales entre 0 y 1:

0,5837292389292389221212......etc

0,8234237272349293849234......etc

0,1393489292034802830402.....etc

0,5837882389292389221212......etc

0,8234239898949293849234......etc

0,1322449292034802830402.....etc

0,9837292389292389221212......etc

0,9234237272349294549234......etc

0,1393489292034802830402.....etc

0,2342929302302029340920....etc

0,4584030934853098409834....etc

etc.....

Bien. Hay infinitos reales en esa tabla. ¡Ole! Tenemos un número natural asociado a cada elemento de la tabla... y al ser infinitos, están todos los naturales ocupados.

Pero... ¿realmente están todos los números reales en esa tabla? Vamos a intentar hacer uno nuevo que no esté:

Para fabricarlo, empezamos colocando un “0,” (por aquello de que se cumpla lo de que esté entre 0 y 1), y empezamos a rellenar cifras. Para ello, formaremos una cifra con la diagonal de los decimales (los números en negrita de la lista siguiente, vamos)

0,5837292389292389221212......etc

0,8234237272349293849234......etc

0,1393489292034802830402.....etc

0,2342929302302029340920....etc

0,4584030934853098409834....etc

etc.....

Importante: le sumamos seguidamente uno a cada una de estas cifras (si es 9, lo pasamos a 0). El número que vamos formando quedaría, entonces, 0,63031......y así seguido de infinitas cifras. ¿estaría ya en la lista original?

Je.. pues el primero no es seguro, por que como mínimo, la primera cifra es diferente.

El segundo tampoco... por que como mínimo, la segunda cifra es diferente...

El tercero tampoco... el cuarto menos..... de hecho.... ¡ninguno!!

Ese número no estaría en a lista: nos lo habíamos saltado. No obstante, en la lista habían ya INFINITOS números antes!!

Este nuevo número lo podríamos añadir a la tabla... pero no lo podríamos contar... ¡¡por que ya están ocupados todos los naturales!! ¡¡Este nuevo número es... incontable!! La cantidad de números reales entre 0 y 1.... es MAYOR que infinito!

Esto que acabamos de hacer de forma cutre es la Prueba de la Diagonal de Cantor. Demuestra que los números reales son... incontables. Y no por que no sea práctico contarlos, por falta de tiempo o algo así. Es sencillamente que hay MAS que infinitos. De hecho, entre dos números reales, por próximos que estén, ya hay más que infinitos. Entre 5.0000000000 y 5.0000000001 hay mas números reales que infinito. Y no es que haya “más”..... hay MUCHOS mas! ......pero pero que muchos!!

Pues na: y si hay más que infinitos... cuantos hay? Pos le pondremos un nombre a la cifra: Aleph-1 ...o C, si se quiere ser mas purista (el hecho es que no se puede demostrar que el concepto Aleph-1 y C sea lo mismo... pero eso es indiferente a nuestra demostración y es una historia muy larga). Lo importante es que acaba de nacer el infinito cardinal de los reales. Y ojo.... que hay Aleph-2 (el número de funciones existentes, por ejemplo), Aleph-3, etc....Y con todo esto, se abre la puerta de una de las áreas matemáticas mas extrañas y desconcertantes: los números transinfinitos. Los números que están mas allá del infinito. Y las consecuencias que han generado son la reostia, hablando en plata.

Pero lo explicaré en otro post, que luego dicen que me enrollo.